Решете 4k^2+7k+3=0

$$4 k ^ { 2 } + 7 k + 3 = 0$$

Реши за k

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$k=-1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4k^{2}+ak+bk+3. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=7 ab=4\times 3=12$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Решението е парот што дава збир 7.

$$a=3 b=4$$

Препиши го 4k^{2}+7k+3 како \left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right).

$$\left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right)$$

Факторирај го k во 4k^{2}+3k.

$$k\left(4k+3\right)+4k+3$$

Факторирај го заедничкиот термин 4k+3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4k+3\right)\left(k+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4k+3=0 и k+1=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4k^{2}+7k+3=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 7 за b и 3 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Квадрат од 7.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со 3.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Собирање на 49 и -48.

$$k=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 1.

$$k=\frac{-7±1}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$k=\frac{-7±1}{8}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-7±1}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -7 и 1.

$$k=-\frac{6}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-6}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-7±1}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 1 од -7.

$$k=-\frac{8}{8}$$

Делење на -8 со 8.

$$k=-1$$

Равенката сега е решена.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4k^{2}+7k+3=0$$

Одземање на 3 од двете страни на равенката.

$$4k^{2}+7k+3-3=-3$$

Ако одземете 3 од истиот број, ќе остане 0.

$$4k^{2}+7k=-3$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4k^{2}+7k}{4}=-\frac{3}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k=-\frac{3}{4}$$

Поделете го \frac{7}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{8}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Соберете ги -\frac{3}{4} и \frac{49}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Фактор k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Поедноставување.

$$k+\frac{7}{8}=\frac{1}{8} k+\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Одземање на \frac{7}{8} од двете страни на равенката.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$