Решете 4(x+3)^2=9(2x-1)^2

$$4 ( x + 3 ) ^ { 2 } = 9 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }$$

Реши за x

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

$$x=-\frac{3}{8}=-0,375$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 9 со 4x^{2}-4x+1.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Одземете 36x^{2} од двете страни.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Комбинирајте 4x^{2} и -36x^{2} за да добиете -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Додај 36x на двете страни.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Комбинирајте 24x и 36x за да добиете 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Одземете 9 од двете страни.

$$-32x^{2}+60x+36-9=0$$

Одземете 9 од 36 за да добиете 27.

$$-32x^{2}+60x+27=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -32x^{2}+ax+bx+27. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=60 ab=-32\times 27=-864$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -864.

$$-1,864 -2,432 -3,288 -4,216 -6,144 -8,108 -9,96 -12,72 -16,54 -18,48 -24,36 -27,32$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+864=863 -2+432=430 -3+288=285 -4+216=212 -6+144=138 -8+108=100 -9+96=87 -12+72=60 -16+54=38 -18+48=30 -24+36=12 -27+32=5$$

Решението е парот што дава збир 60.

$$a=72 b=-12$$

Препиши го -32x^{2}+60x+27 како \left(-32x^{2}+72x\right)+\left(-12x+27\right).

$$\left(-32x^{2}+72x\right)+\left(-12x+27\right)$$

Исклучете го факторот -8x во првата група и -3 во втората група.

$$-8x\left(4x-9\right)-3\left(4x-9\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 4x-9 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4x-9\right)\left(-8x-3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4x-9=0 и -8x-3=0.

$$x=\frac{9}{4} x=-\frac{3}{8}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 9 со 4x^{2}-4x+1.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Одземете 36x^{2} од двете страни.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Комбинирајте 4x^{2} и -36x^{2} за да добиете -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Додај 36x на двете страни.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Комбинирајте 24x и 36x за да добиете 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Одземете 9 од двете страни.

$$-32x^{2}+60x+36-9=0$$

Одземете 9 од 36 за да добиете 27.

$$-32x^{2}+60x+27=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -32 за a, 60 за b и 27 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-32\right)\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Квадрат од 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-32\right)\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Множење на -4 со -32.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+128\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Множење на 128 со 27.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+3456}}{2\left(-32\right)}$$

Собирање на 3600 и 3456.

$$x=\frac{-60±\sqrt{7056}}{2\left(-32\right)}$$

Вадење квадратен корен од 7056.

$$x=\frac{-60±84}{2\left(-32\right)}$$

Множење на 2 со -32.

$$x=\frac{-60±84}{-64}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-60±84}{-64} кога ± ќе биде плус. Собирање на -60 и 84.

$$x=\frac{24}{-64}$$

Намалете ја дропката \frac{24}{-64} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-60±84}{-64} кога ± ќе биде минус. Одземање на 84 од -60.

$$x=-\frac{144}{-64}$$

Намалете ја дропката \frac{-144}{-64} до најниските услови со извлекување и откажување на 16.

$$x=\frac{9}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\frac{3}{8} x=\frac{9}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 9 со 4x^{2}-4x+1.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Одземете 36x^{2} од двете страни.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Комбинирајте 4x^{2} и -36x^{2} за да добиете -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Додај 36x на двете страни.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Комбинирајте 24x и 36x за да добиете 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Одземете 36 од двете страни.

$$-32x^{2}+60x=9-36$$

Одземете 36 од 9 за да добиете -27.

$$-32x^{2}+60x=-27$$

Поделете ги двете страни со -32.

$$\frac{-32x^{2}+60x}{-32}=-\frac{27}{-32}$$

Ако поделите со -32, ќе се врати множењето со -32.

$$x^{2}+\frac{60}{-32}x=-\frac{27}{-32}$$

Намалете ја дропката \frac{60}{-32} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x=-\frac{27}{-32}$$

Делење на -27 со -32.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x=\frac{27}{32}$$

Поделете го -\frac{15}{8}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{15}{16}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{15}{16} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}=\frac{27}{32}+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{15}{16} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}=\frac{27}{32}+\frac{225}{256}$$

Соберете ги \frac{27}{32} и \frac{225}{256} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}=\frac{441}{256}$$

Фактор x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{16}\right)^{2}=\frac{441}{256}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{256}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{15}{16}=\frac{21}{16} x-\frac{15}{16}=-\frac{21}{16}$$

Додавање на \frac{15}{16} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{9}{4} x=-\frac{3}{8}$$