Решете 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Реши за x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Одземете 169 од 4 за да добиете -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx-165. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Решението е парот што дава збир 8.

$$a=-22 b=30$$

Препиши го 4x^{2}+8x-165 како \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 15 во втората група.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-11 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-11=0 и 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Одземете 169 од 4 за да добиете -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 8 за b и -165 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Собирање на 64 и 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-8±52}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -8 и 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{44}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-8±52}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 52 од -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-60}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Одземете 169 од 4 за да добиете -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Додај 165 на двете страни. Секој број собран со нула го дава истиот број.

$$4x^{2}+8x=165$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Делење на 8 со 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Поделете го 2, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 1. Потоа додајте го квадратот од 1 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Квадрат од 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Собирање на \frac{165}{4} и 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Фактор x^{2}+2x+1. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$