Решете 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Реши за y

$$y=-1$$

$$y=2$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 4.

$$y^{2}-y-2=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како y^{2}+ay+by-2. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Единствениот таков пар е решението на системот.

$$a=-2 b=1$$

Препиши го y^{2}-y-2 како \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Факторирај го y во y^{2}-2y.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Факторирај го заедничкиот термин y-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги y-2=0 и y+1=0.

$$y=2 y=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -4 за b и -8 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Собирање на 16 и 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

Спротивно на -4 е 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Сега решете ја равенката y=\frac{4±12}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 4 и 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Делење на 16 со 8.

$$y=2$$

Сега решете ја равенката y=\frac{4±12}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 12 од 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Делење на -8 со 8.

$$y=-1$$

Равенката сега е решена.

$$y=2 y=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Додавање на 8 на двете страни на равенката.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Ако одземете -8 од истиот број, ќе остане 0.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Одземање на -8 од 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Делење на -4 со 4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Делење на 8 со 4.

$$y^{2}-y=2$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Собирање на 2 и \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Фактор y^{2}-y+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Поедноставување.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$y=2 y=-1$$