Решете 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -4 за b и -16 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Собирање на 16 и 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Спротивно на -4 е 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 4 и 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Делење на 4+4\sqrt{17} со 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4\sqrt{17} од 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Делење на 4-4\sqrt{17} со 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Додавање на 16 на двете страни на равенката.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Ако одземете -16 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Одземање на -16 од 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Делење на -4 со 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Делење на 16 со 4.

$$x^{2}-x=4$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Собирање на 4 и \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Фактор x^{2}-x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$