Решете 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx-15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решението е парот што дава збир -4.

$$a=-10 b=6$$

Препиши го 4x^{2}-4x-15 како \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 3 во втората група.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-5=0 и 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, -4 за b и -15 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Собирање на 16 и 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Спротивно на -4 е 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{4±16}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на 4 и 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{20}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{4±16}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 16 од 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Додавање на 15 на двете страни на равенката.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ако одземете -15 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Одземање на -15 од 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Делење на -4 со 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Соберете ги \frac{15}{4} и \frac{1}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Фактор x^{2}-x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$