Решете 4x^2+x-5=0

$$4 { x }^{ 2 } +x-5=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$x=1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx-5. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Решението е парот што дава збир 1.

$$a=-4 b=5$$

Препиши го 4x^{2}+x-5 како \left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и 5 во втората група.

$$4x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-1=0 и 4x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+x-5=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 1 за b и -5 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Собирање на 1 и 80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-1±9}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1±9}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -1 и 9.

$$x=\frac{8}{8}$$

Делење на 8 со 8.

$$x=1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1±9}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 9 од -1.

$$x=-\frac{10}{8}$$

Намалете ја дропката \frac{-10}{8} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x-5=0$$

Додавање на 5 на двете страни на равенката.

$$4x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ако одземете -5 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

Одземање на -5 од 0.

$$4x^{2}+x=5$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{5}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Поделете го \frac{1}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{8}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Соберете ги \frac{5}{4} и \frac{1}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Фактор x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Одземање на \frac{1}{8} од двете страни на равенката.

$$x=1 x=-\frac{5}{4}$$