Решете 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Реши за x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 120 од двете страни.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-30. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решението е парот што дава збир 1.

$$a=-5 b=6$$

Препиши го x^{2}+x-30 како \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 6 во втората група.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-5=0 и x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+4x=120$$

Одземање на 120 од двете страни на равенката.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Ако одземете 120 од истиот број, ќе остане 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 4 за b и -120 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Собирање на 16 и 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±44}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -4 и 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Делење на 40 со 8.

$$x=5$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±44}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 44 од -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Делење на -48 со 8.

$$x=-6$$

Равенката сега е решена.

$$x=5 x=-6$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Делење на 4 со 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Делење на 120 со 4.

$$x^{2}+x=30$$

Поделете го 1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Собирање на 30 и \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Фактор x^{2}+x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Одземање на \frac{1}{2} од двете страни на равенката.

$$x=5 x=-6$$