Решете 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 31 за a, -3 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Квадрат од -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Множење на -4 со 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Собирање на 9 и -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Вадење квадратен корен од -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Спротивно на -3 е 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Множење на 2 со 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} кога ± ќе биде плус. Собирање на 3 и i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} кога ± ќе биде минус. Одземање на i\sqrt{115} од 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Поделете ги двете страни со 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Ако поделите со 31, ќе се врати множењето со 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Поделете го -\frac{3}{31}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{3}{62}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{3}{62} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{3}{62} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Соберете ги -\frac{1}{31} и \frac{9}{3844} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Фактор x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Додавање на \frac{3}{62} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$