Решете 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Реши за x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 3384 од двете страни.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 7x^{2}+ax+bx-1128. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Решението е парот што дава збир 10.

$$a=-84 b=94$$

Препиши го 7x^{2}+10x-1128 како \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Исклучете го факторот 7x во првата група и 94 во втората група.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-12 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-12=0 и 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Одземање на 3384 од двете страни на равенката.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Ако одземете 3384 од истиот број, ќе остане 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 21 за a, 30 за b и -3384 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Квадрат од 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Множење на -4 со 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Множење на -84 со -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Собирање на 900 и 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Вадење квадратен корен од 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Множење на 2 со 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-30±534}{42} кога ± ќе биде плус. Собирање на -30 и 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Делење на 504 со 42.

$$x=12$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-30±534}{42} кога ± ќе биде минус. Одземање на 534 од -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Намалете ја дропката \frac{-564}{42} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Равенката сега е решена.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Поделете ги двете страни со 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Ако поделите со 21, ќе се врати множењето со 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Намалете ја дропката \frac{30}{21} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Намалете ја дропката \frac{3384}{21} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Поделете го \frac{10}{7}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{5}{7}. Потоа додајте го квадратот од \frac{5}{7} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Кренете \frac{5}{7} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Соберете ги \frac{1128}{7} и \frac{25}{49} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Фактор x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Одземање на \frac{5}{7} од двете страни на равенката.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$