Решете 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Реши за t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 225 со t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Одземете 225t^{2} од двете страни.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Одземете 4500t од двете страни.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Комбинирајте 30t и -4500t за да добиете -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Одземете 22500 од двете страни.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -225 за a, -4470 за b и -22500 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Квадрат од -4470.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Множење на -4 со -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Множење на 900 со -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Собирање на 19980900 и -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Вадење квадратен корен од -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Спротивно на -4470 е 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Множење на 2 со -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Сега решете ја равенката t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} кога ± ќе биде плус. Собирање на 4470 и 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Делење на 4470+30i\sqrt{299} со -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Сега решете ја равенката t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} кога ± ќе биде минус. Одземање на 30i\sqrt{299} од 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Делење на 4470-30i\sqrt{299} со -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Равенката сега е решена.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 225 со t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Одземете 225t^{2} од двете страни.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Одземете 4500t од двете страни.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Комбинирајте 30t и -4500t за да добиете -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Поделете ги двете страни со -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Ако поделите со -225, ќе се врати множењето со -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Намалете ја дропката \frac{-4470}{-225} до најниските услови со извлекување и откажување на 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Делење на 22500 со -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Поделете го \frac{298}{15}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{149}{15}. Потоа додајте го квадратот од \frac{149}{15} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Кренете \frac{149}{15} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Собирање на -100 и \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Фактор t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Поедноставување.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Одземање на \frac{149}{15} од двете страни на равенката.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$