Решете 3z^2-z-5=0

$$3 z ^ { 2 } - z - 5 = 0$$

Реши за z

$$z = \frac{\sqrt{61} + 1}{6} \approx 1,468374946$$

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}\approx -1,135041613$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -1 за b и -5 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -5.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Собирање на 1 и 60.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Спротивно на -1 е 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 1 и \sqrt{61}.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на \sqrt{61} од 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Равенката сега е решена.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Додавање на 5 на двете страни на равенката.

$$3z^{2}-z-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ако одземете -5 од истиот број, ќе остане 0.

$$3z^{2}-z=-\left(-5\right)$$

Одземање на -5 од 0.

$$3z^{2}-z=5$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3z^{2}-z}{3}=\frac{5}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z=\frac{5}{3}$$

Поделете го -\frac{1}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{6}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

Соберете ги \frac{5}{3} и \frac{1}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Фактор z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Поедноставување.

$$z-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} z-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Додавање на \frac{1}{6} на двете страни на равенката.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$