Решете 3z^2+z-1=0

$$3 z ^ { 2 } + z - 1 = 0$$

Реши за z

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$z=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3z^{2}+z-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 1 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+12}}{2\times 3}$$

Собирање на 1 и 12.

$$z=\frac{-1±\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$z=\frac{-1±\sqrt{13}}{6}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{-1±\sqrt{13}}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -1 и \sqrt{13}.

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{-1±\sqrt{13}}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на \sqrt{13} од -1.

$$z=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Равенката сега е решена.

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{6} z=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+z-1=0$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$3z^{2}+z-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ако одземете -1 од истиот број, ќе остане 0.

$$3z^{2}+z=-\left(-1\right)$$

Одземање на -1 од 0.

$$3z^{2}+z=1$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3z^{2}+z}{3}=\frac{1}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$z^{2}+\frac{1}{3}z=\frac{1}{3}$$

Поделете го \frac{1}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{6}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$z^{2}+\frac{1}{3}z+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$z^{2}+\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Соберете ги \frac{1}{3} и \frac{1}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$z^{2}+\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Фактор z^{2}+\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Поедноставување.

$$z+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} z+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Одземање на \frac{1}{6} од двете страни на равенката.

$$z=\frac{\sqrt{13}-1}{6} z=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$