Решете 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Реши за x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx+84. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Решението е парот што дава збир -32.

$$a=-18 b=-14$$

Препиши го 3x^{2}-32x+84 како \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и -14 во втората група.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-6 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-6=0 и 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -32 за b и 84 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Квадрат од -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Собирање на 1024 и -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Спротивно на -32 е 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{32±4}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 32 и 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Делење на 36 со 6.

$$x=6$$

Сега решете ја равенката x=\frac{32±4}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4 од 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{28}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Одземање на 84 од двете страни на равенката.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Ако одземете 84 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Делење на -84 со 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Поделете го -\frac{32}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{16}{3}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{16}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{16}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Собирање на -28 и \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Фактор x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Додавање на \frac{16}{3} на двете страни на равенката.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$