Решете 3x^2-11x+7=0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x + 7 = 0$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{37} + 11}{6} \approx 2,847127088$$

$$x=\frac{11-\sqrt{37}}{6}\approx 0,819539578$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}-11x+7=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -11 за b и 7 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Квадрат од -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 7}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со 7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-84}}{2\times 3}$$

Собирање на 121 и -84.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Спротивно на -11 е 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{11±\sqrt{37}}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{11±\sqrt{37}}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 11 и \sqrt{37}.

$$x=\frac{\sqrt{37}+11}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{11±\sqrt{37}}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на \sqrt{37} од 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{37}}{6}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{37}+11}{6} x=\frac{11-\sqrt{37}}{6}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-11x+7=0$$

Одземање на 7 од двете страни на равенката.

$$3x^{2}-11x+7-7=-7$$

Ако одземете 7 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}-11x=-7$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}-11x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Поделете го -\frac{11}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{11}{6}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{11}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{11}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{36}$$

Соберете ги -\frac{7}{3} и \frac{121}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{37}{36}$$

Фактор x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{37}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{36}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{37}}{6} x-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{37}}{6}$$

Додавање на \frac{11}{6} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{37}+11}{6} x=\frac{11-\sqrt{37}}{6}$$