Решете 3x^2+x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-4. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Решението е парот што дава збир 1.

$$a=-3 b=4$$

Препиши го 3x^{2}+x-4 како \left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 4 во втората група.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-1=0 и 3x+4=0.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 1 за b и -4 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Собирање на 1 и 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1±7}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -1 и 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Делење на 6 со 6.

$$x=1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1±7}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 7 од -1.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-8}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Додавање на 4 на двете страни на равенката.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Ако одземете -4 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

Одземање на -4 од 0.

$$3x^{2}+x=4$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

Поделете го \frac{1}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{6}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Соберете ги \frac{4}{3} и \frac{1}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Фактор x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Одземање на \frac{1}{6} од двете страни на равенката.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$