Решете 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

Реши за x

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-8. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Решението е парот што дава збир 23.

$$a=-1 b=24$$

Препиши го 3x^{2}+23x-8 како \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 8 во втората група.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-1=0 и x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 23 за b и -8 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

Собирање на 529 и 96.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 625.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-23±25}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -23 и 25.

$$x=\frac{2}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{2}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-23±25}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 25 од -23.

$$x=-\frac{48}{6}$$

Делење на -48 со 6.

$$x=-8$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Додавање на 8 на двете страни на равенката.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Ако одземете -8 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

Одземање на -8 од 0.

$$3x^{2}+23x=8$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

Поделете го \frac{23}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{23}{6}. Потоа додајте го квадратот од \frac{23}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Кренете \frac{23}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

Соберете ги \frac{8}{3} и \frac{529}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

Фактор x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

Одземање на \frac{23}{6} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$