Решете 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 2 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Квадрат од 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Собирање на 4 и -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -2 и 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Делење на -2+2i\sqrt{2} со 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2i\sqrt{2} од -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Делење на -2-2i\sqrt{2} со 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Поделете го \frac{2}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Соберете ги -\frac{1}{3} и \frac{1}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Фактор x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Одземање на \frac{1}{3} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$