Решете 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Реши за x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-35. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Решението е парот што дава збир 16.

$$a=-5 b=21$$

Препиши го 3x^{2}+16x-35 како \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 7 во втората група.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-5=0 и x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 16 за b и -35 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Собирање на 256 и 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-16±26}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -16 и 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{10}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-16±26}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 26 од -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Делење на -42 со 6.

$$x=-7$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Додавање на 35 на двете страни на равенката.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Ако одземете -35 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Одземање на -35 од 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Поделете го \frac{16}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{8}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{8}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{8}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Соберете ги \frac{35}{3} и \frac{64}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Фактор x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Одземање на \frac{8}{3} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$