Решете 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Реши за x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-12. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Решението е парот што дава збир 16.

$$a=-2 b=18$$

Препиши го 3x^{2}+16x-12 како \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 6 во втората група.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-2=0 и x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 16 за b и -12 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Собирање на 256 и 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-16±20}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -16 и 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{4}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-16±20}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 20 од -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Делење на -36 со 6.

$$x=-6$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Додавање на 12 на двете страни на равенката.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Ако одземете -12 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Одземање на -12 од 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Делење на 12 со 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Поделете го \frac{16}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{8}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{8}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{8}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Собирање на 4 и \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Фактор x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Одземање на \frac{8}{3} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$