Решете 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Реши за x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 6y од двете страни.

$$3x+9-6y=0$$

Одземете 9 од двете страни. Секој број одземен од нула ја дава својата негативна вредност.

$$3x-6y=-9$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 12 на двете страни. Секој број собран со нула го дава истиот број.

$$-2x-2y=12$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$3x-6y=-9$$

Додавање на 6y на двете страни на равенката.

$$3x=6y-9$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Множење на \frac{1}{3} со 6y-9.

$$x=2y-3$$

Заменете го x со 2y-3 во другата равенка, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Множење на -2 со 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Собирање на -4y и -2y.

$$-6y+6=12$$

Одземање на 6 од двете страни на равенката.

$$-6y=6$$

Поделете ги двете страни со -6.

$$y=-1$$

Заменете го y со -1 во x=2y-3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Множење на 2 со -1.

$$x=-2-3$$

Собирање на -3 и -2.

$$x=-5$$

Системот е решен сега.

$$x=-5,y=-1$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 6y од двете страни.

$$3x+9-6y=0$$

Одземете 9 од двете страни. Секој број одземен од нула ја дава својата негативна вредност.

$$3x-6y=-9$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 12 на двете страни. Секој број собран со нула го дава истиот број.

$$-2x-2y=12$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=-5,y=-1$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 6y од двете страни.

$$3x+9-6y=0$$

Одземете 9 од двете страни. Секој број одземен од нула ја дава својата негативна вредност.

$$3x-6y=-9$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 12 на двете страни. Секој број собран со нула го дава истиот број.

$$-2x-2y=12$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

За да ги направите 3x и -2x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со -2 и сите членови од двете страни на втората со 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Поедноставување.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Одземете -6x-6y=36 од -6x+12y=18 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Собирање на -6x и 6x. Термините -6x и 6x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$12y+6y=18-36$$

Собирање на 12y и 6y.

$$18y=18-36$$

Собирање на 18 и -36.

$$18y=-18$$

Поделете ги двете страни со 18.

$$y=-1$$

Заменете го y со -1 во -2x-2y=12. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Множење на -2 со -1.

$$-2x+2=12$$

Одземање на 2 од двете страни на равенката.

$$-2x=10$$

Поделете ги двете страни со -2.

$$x=-5$$

Системот е решен сега.

$$x=-5,y=-1$$