Решете 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Реши за r

$$r=3$$

$$r=5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Додај 45 на двете страни.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како r^{2}+ar+br+15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Решението е парот што дава збир -8.

$$a=-5 b=-3$$

Препиши го r^{2}-8r+15 како \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Исклучете го факторот r во првата група и -3 во втората група.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин r-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги r-5=0 и r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Додавање на 45 на двете страни на равенката.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Ако одземете -45 од истиот број, ќе остане 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Одземање на -45 од 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -24 за b и 45 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Квадрат од -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Собирање на 576 и -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Спротивно на -24 е 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Сега решете ја равенката r=\frac{24±6}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 24 и 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Делење на 30 со 6.

$$r=5$$

Сега решете ја равенката r=\frac{24±6}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 6 од 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Делење на 18 со 6.

$$r=3$$

Равенката сега е решена.

$$r=5 r=3$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Делење на -24 со 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Делење на -45 со 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Поделете го -8, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -4. Потоа додајте го квадратот од -4 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Квадрат од -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Собирање на -15 и 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Фактор r^{2}-8r+16. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Поедноставување.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Додавање на 4 на двете страни на равенката.

$$r=5 r=3$$