Решете 3n^2-7n-370=0

$$3 n ^ { 2 } - 7 n - 370 = 0$$

Реши за n

$$n=-10$$

$$n = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3} \approx 12,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3n^{2}+an+bn-370. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-7 ab=3\left(-370\right)=-1110$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -1110.

$$1,-1110 2,-555 3,-370 5,-222 6,-185 10,-111 15,-74 30,-37$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-1110=-1109 2-555=-553 3-370=-367 5-222=-217 6-185=-179 10-111=-101 15-74=-59 30-37=-7$$

Решението е парот што дава збир -7.

$$a=-37 b=30$$

Препиши го 3n^{2}-7n-370 како \left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right).

$$\left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right)$$

Исклучете го факторот n во првата група и 10 во втората група.

$$n\left(3n-37\right)+10\left(3n-37\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3n-37 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3n-37\right)\left(n+10\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3n-37=0 и n+10=0.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -7 за b и -370 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -370.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4440}}{2\times 3}$$

Собирање на 49 и 4440.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 4489.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±67}{2\times 3}$$

Спротивно на -7 е 7.

$$n=\frac{7±67}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$n=\frac{7±67}{6}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{7±67}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 7 и 67.

$$n=\frac{74}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{74}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$n=\frac{37}{3}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{7±67}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 67 од 7.

$$n=-\frac{60}{6}$$

Делење на -60 со 6.

$$n=-10$$

Равенката сега е решена.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

Додавање на 370 на двете страни на равенката.

$$3n^{2}-7n-370-\left(-370\right)=-\left(-370\right)$$

Ако одземете -370 од истиот број, ќе остане 0.

$$3n^{2}-7n=-\left(-370\right)$$

Одземање на -370 од 0.

$$3n^{2}-7n=370$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3n^{2}-7n}{3}=\frac{370}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n=\frac{370}{3}$$

Поделете го -\frac{7}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{6}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{370}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{370}{3}+\frac{49}{36}$$

Соберете ги \frac{370}{3} и \frac{49}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{4489}{36}$$

Фактор n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Поедноставување.

$$n-\frac{7}{6}=\frac{67}{6} n-\frac{7}{6}=-\frac{67}{6}$$

Додавање на \frac{7}{6} на двете страни на равенката.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$