Решете 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Реши за n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Одземање на 5 од двете страни на равенката.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Ако одземете 5 од истиот број, ќе остане 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Одземање на 5 од -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 47 за b и -237 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Собирање на 2209 и 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -47 и \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на \sqrt{5053} од -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Равенката сега е решена.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Додавање на 232 на двете страни на равенката.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Ако одземете -232 од истиот број, ќе остане 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Одземање на -232 од 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Делење на 237 со 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Поделете го \frac{47}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{47}{6}. Потоа додајте го квадратот од \frac{47}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Кренете \frac{47}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Собирање на 79 и \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Фактор n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Поедноставување.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Одземање на \frac{47}{6} од двете страни на равенката.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$