Решете 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Реши за n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 1141 од двете страни.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Одземете 1141 од 1 за да добиете -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како n^{2}+an+bn-380. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Решението е парот што дава збир 1.

$$a=-19 b=20$$

Препиши го n^{2}+n-380 како \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Исклучете го факторот n во првата група и 20 во втората група.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин n-19 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-19=0 и n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Одземање на 1141 од двете страни на равенката.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Ако одземете 1141 од истиот број, ќе остане 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Одземање на 1141 од 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 3 за b и -1140 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Собирање на 9 и 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{-3±117}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -3 и 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Делење на 114 со 6.

$$n=19$$

Сега решете ја равенката n=\frac{-3±117}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 117 од -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Делење на -120 со 6.

$$n=-20$$

Равенката сега е решена.

$$n=19 n=-20$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Одземање на 1 од 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Делење на 3 со 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Делење на 1140 со 3.

$$n^{2}+n=380$$

Поделете го 1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Собирање на 380 и \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Фактор n^{2}+n+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Поедноставување.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Одземање на \frac{1}{2} од двете страни на равенката.

$$n=19 n=-20$$