Решете 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Реши за n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 8 од двете страни.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3n^{2}+an+bn-8. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Решението е парот што дава збир 10.

$$a=-2 b=12$$

Препиши го 3n^{2}+10n-8 како \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Исклучете го факторот n во првата група и 4 во втората група.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3n-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3n-2=0 и n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3n^{2}+10n=8$$

Одземање на 8 од двете страни на равенката.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Ако одземете 8 од истиот број, ќе остане 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 10 за b и -8 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Собирање на 100 и 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{-10±14}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -10 и 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{4}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{-10±14}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 14 од -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Делење на -24 со 6.

$$n=-4$$

Равенката сега е решена.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Поделете го \frac{10}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{5}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{5}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{5}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Соберете ги \frac{8}{3} и \frac{25}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Фактор n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Поедноставување.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Одземање на \frac{5}{3} од двете страни на равенката.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$