Решете 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-372. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Решението е парот што дава збир -5.

$$a=-36 b=31$$

Препиши го 3x^{2}-5x-372 како \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 31 во втората група.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-12 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-12=0 и 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -5 за b и -372 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Собирање на 25 и 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Спротивно на -5 е 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±67}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 5 и 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Делење на 72 со 6.

$$x=12$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±67}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 67 од 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-62}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Додавање на 372 на двете страни на равенката.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Ако одземете -372 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Одземање на -372 од 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Делење на 372 со 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Поделете го -\frac{5}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{6}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Собирање на 124 и \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Фактор x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Додавање на \frac{5}{6} на двете страни на равенката.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$