Решете 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -4 за b и -9 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Собирање на 16 и 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Спротивно на -4 е 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 4 и 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Делење на 4+2\sqrt{31} со 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2\sqrt{31} од 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Делење на 4-2\sqrt{31} со 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Додавање на 9 на двете страни на равенката.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ако одземете -9 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Одземање на -9 од 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Делење на 9 со 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Поделете го -\frac{4}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{2}{3}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{2}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{2}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Собирање на 3 и \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Фактор x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Додавање на \frac{2}{3} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$