Решете 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-60. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решението е парот што дава збир -31.

$$a=-36 b=5$$

Препиши го 3x^{2}-31x-60 како \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 5 во втората група.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-12 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-12=0 и 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -31 за b и -60 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Собирање на 961 и 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Спротивно на -31 е 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{31±41}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 31 и 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Делење на 72 со 6.

$$x=12$$

Сега решете ја равенката x=\frac{31±41}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 41 од 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-10}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Додавање на 60 на двете страни на равенката.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Ако одземете -60 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Одземање на -60 од 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Делење на 60 со 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Поделете го -\frac{31}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{31}{6}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{31}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{31}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Собирање на 20 и \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Фактор x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Додавање на \frac{31}{6} на двете страни на равенката.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$