Решете 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Реши за x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 138 од двете страни.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-138. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Решението е парот што дава збир 5.

$$a=-18 b=23$$

Препиши го 3x^{2}+5x-138 како \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 23 во втората група.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-6 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-6=0 и 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}+5x=138$$

Одземање на 138 од двете страни на равенката.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Ако одземете 138 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 5 за b и -138 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Собирање на 25 и 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-5±41}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -5 и 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Делење на 36 со 6.

$$x=6$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-5±41}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 41 од -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-46}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Делење на 138 со 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Поделете го \frac{5}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{5}{6}. Потоа додајте го квадратот од \frac{5}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Кренете \frac{5}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Собирање на 46 и \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Фактор x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Одземање на \frac{5}{6} од двете страни на равенката.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$