Решете 3x^2+4x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } +4x+1=0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx+1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Единствениот таков пар е решението на системот.

$$a=1 b=3$$

Препиши го 3x^{2}+4x+1 како \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Факторирај го x во 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x+1=0 и x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 4 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Квадрат од 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Собирање на 16 и -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±2}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -4 и 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-2}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±2}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2 од -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Делење на -6 со 6.

$$x=-1$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Поделете го \frac{4}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{2}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{2}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{2}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Соберете ги -\frac{1}{3} и \frac{4}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Фактор x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Одземање на \frac{2}{3} од двете страни на равенката.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$