Решете 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Додавање на 24 на двете страни на равенката.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Ако одземете -24 од истиот број, ќе остане 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Одземање на -24 од 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 11 за b и 24 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Квадрат од 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Собирање на 121 и -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -11 и i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на i\sqrt{167} од -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Делење на -24 со 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Поделете го \frac{11}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{11}{6}. Потоа додајте го квадратот од \frac{11}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Кренете \frac{11}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Собирање на -8 и \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Фактор x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Одземање на \frac{11}{6} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$