Решете 3n^2-11n-874=0

$$3 { n }^{ 2 } -11n-874 = 0$$

Реши за n

$$n = -\frac{46}{3} = -15\frac{1}{3} \approx -15,333333333$$

$$n=19$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3n^{2}+an+bn-874. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-11 ab=3\left(-874\right)=-2622$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -2622.

$$1,-2622 2,-1311 3,-874 6,-437 19,-138 23,-114 38,-69 46,-57$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-2622=-2621 2-1311=-1309 3-874=-871 6-437=-431 19-138=-119 23-114=-91 38-69=-31 46-57=-11$$

Решението е парот што дава збир -11.

$$a=-57 b=46$$

Препиши го 3n^{2}-11n-874 како \left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right).

$$\left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right)$$

Исклучете го факторот 3n во првата група и 46 во втората група.

$$3n\left(n-19\right)+46\left(n-19\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин n-19 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(n-19\right)\left(3n+46\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-19=0 и 3n+46=0.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -11 за b и -874 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -874.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+10488}}{2\times 3}$$

Собирање на 121 и 10488.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{10609}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 10609.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±103}{2\times 3}$$

Спротивно на -11 е 11.

$$n=\frac{11±103}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$n=\frac{11±103}{6}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{11±103}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 11 и 103.

$$n=\frac{114}{6}$$

Делење на 114 со 6.

$$n=19$$

Сега решете ја равенката n=\frac{11±103}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 103 од 11.

$$n=-\frac{92}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-92}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$n=-\frac{46}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Додавање на 874 на двете страни на равенката.

$$3n^{2}-11n-874-\left(-874\right)=-\left(-874\right)$$

Ако одземете -874 од истиот број, ќе остане 0.

$$3n^{2}-11n=-\left(-874\right)$$

Одземање на -874 од 0.

$$3n^{2}-11n=874$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3n^{2}-11n}{3}=\frac{874}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{874}{3}$$

Поделете го -\frac{11}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{11}{6}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{11}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{874}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{11}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{874}{3}+\frac{121}{36}$$

Соберете ги \frac{874}{3} и \frac{121}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{10609}{36}$$

Фактор n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{10609}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10609}{36}}$$

Поедноставување.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{103}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{103}{6}$$

Додавање на \frac{11}{6} на двете страни на равенката.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$