Решете 3n^2+5n-1300=0

$$3 { n }^{ 2 } +5n-1300 = 0$$

Реши за n

$$n = -\frac{65}{3} = -21\frac{2}{3} \approx -21,666666667$$

$$n=20$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3n^{2}+an+bn-1300. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=5 ab=3\left(-1300\right)=-3900$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -3900.

$$-1,3900 -2,1950 -3,1300 -4,975 -5,780 -6,650 -10,390 -12,325 -13,300 -15,260 -20,195 -25,156 -26,150 -30,130 -39,100 -50,78 -52,75 -60,65$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+3900=3899 -2+1950=1948 -3+1300=1297 -4+975=971 -5+780=775 -6+650=644 -10+390=380 -12+325=313 -13+300=287 -15+260=245 -20+195=175 -25+156=131 -26+150=124 -30+130=100 -39+100=61 -50+78=28 -52+75=23 -60+65=5$$

Решението е парот што дава збир 5.

$$a=-60 b=65$$

Препиши го 3n^{2}+5n-1300 како \left(3n^{2}-60n\right)+\left(65n-1300\right).

$$\left(3n^{2}-60n\right)+\left(65n-1300\right)$$

Исклучете го факторот 3n во првата група и 65 во втората група.

$$3n\left(n-20\right)+65\left(n-20\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин n-20 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(n-20\right)\left(3n+65\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-20=0 и 3n+65=0.

$$n=20 n=-\frac{65}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$3n^{2}+5n-1300=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, 5 за b и -1300 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-1300\right)}}{2\times 3}$$

Квадрат од 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-1300\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-1300\right)}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со -1300.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+15600}}{2\times 3}$$

Собирање на 25 и 15600.

$$n=\frac{-5±\sqrt{15625}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 15625.

$$n=\frac{-5±125}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$n=\frac{-5±125}{6}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{-5±125}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -5 и 125.

$$n=\frac{120}{6}$$

Делење на 120 со 6.

$$n=20$$

Сега решете ја равенката n=\frac{-5±125}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 125 од -5.

$$n=-\frac{130}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-130}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$n=-\frac{65}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$n=20 n=-\frac{65}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+5n-1300=0$$

Додавање на 1300 на двете страни на равенката.

$$3n^{2}+5n-1300-\left(-1300\right)=-\left(-1300\right)$$

Ако одземете -1300 од истиот број, ќе остане 0.

$$3n^{2}+5n=-\left(-1300\right)$$

Одземање на -1300 од 0.

$$3n^{2}+5n=1300$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3n^{2}+5n}{3}=\frac{1300}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n=\frac{1300}{3}$$

Поделете го \frac{5}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{5}{6}. Потоа додајте го квадратот од \frac{5}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1300}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Кренете \frac{5}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}=\frac{1300}{3}+\frac{25}{36}$$

Соберете ги \frac{1300}{3} и \frac{25}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}=\frac{15625}{36}$$

Фактор n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{15625}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15625}{36}}$$

Поедноставување.

$$n+\frac{5}{6}=\frac{125}{6} n+\frac{5}{6}=-\frac{125}{6}$$

Одземање на \frac{5}{6} од двете страни на равенката.

$$n=20 n=-\frac{65}{3}$$