Решете 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 27 за a, 33 за b и -120 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Квадрат од 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Множење на -4 со 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Множење на -108 со -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Собирање на 1089 и 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Вадење квадратен корен од 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Множење на 2 со 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} кога ± ќе биде плус. Собирање на -33 и 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Делење на -33+3\sqrt{1561} со 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} кога ± ќе биде минус. Одземање на 3\sqrt{1561} од -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Делење на -33-3\sqrt{1561} со 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Додавање на 120 на двете страни на равенката.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Ако одземете -120 од истиот број, ќе остане 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Одземање на -120 од 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Поделете ги двете страни со 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Ако поделите со 27, ќе се врати множењето со 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Намалете ја дропката \frac{33}{27} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Намалете ја дропката \frac{120}{27} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Поделете го \frac{11}{9}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{11}{18}. Потоа додајте го квадратот од \frac{11}{18} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Кренете \frac{11}{18} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Соберете ги \frac{40}{9} и \frac{121}{324} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Фактор x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Одземање на \frac{11}{18} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$