Решете 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Реши за y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 25y^{2}+ay+by-63. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Решението е парот што дава збир -54.

$$a=-75 b=21$$

Препиши го 25y^{2}-54y-63 како \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Исклучете го факторот 25y во првата група и 21 во втората група.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин y-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги y-3=0 и 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 25 за a, -54 за b и -63 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Квадрат од -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Множење на -4 со 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Множење на -100 со -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Собирање на 2916 и 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Вадење квадратен корен од 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Спротивно на -54 е 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Множење на 2 со 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Сега решете ја равенката y=\frac{54±96}{50} кога ± ќе биде плус. Собирање на 54 и 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Делење на 150 со 50.

$$y=3$$

Сега решете ја равенката y=\frac{54±96}{50} кога ± ќе биде минус. Одземање на 96 од 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Намалете ја дропката \frac{-42}{50} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Равенката сега е решена.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Додавање на 63 на двете страни на равенката.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Ако одземете -63 од истиот број, ќе остане 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Одземање на -63 од 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Поделете ги двете страни со 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Ако поделите со 25, ќе се врати множењето со 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Поделете го -\frac{54}{25}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{27}{25}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{27}{25} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{27}{25} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Соберете ги \frac{63}{25} и \frac{729}{625} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Фактор y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Поедноставување.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Додавање на \frac{27}{25} на двете страни на равенката.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$