Решете 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Реши за x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-600. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Решението е парот што дава збир 10.

$$a=-20 b=30$$

Препиши го x^{2}+10x-600 како \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 30 во втората група.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-20 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-20=0 и x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 25 за a, 250 за b и -15000 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Квадрат од 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Множење на -4 со 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Множење на -100 со -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Собирање на 62500 и 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Вадење квадратен корен од 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Множење на 2 со 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-250±1250}{50} кога ± ќе биде плус. Собирање на -250 и 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Делење на 1000 со 50.

$$x=20$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-250±1250}{50} кога ± ќе биде минус. Одземање на 1250 од -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Делење на -1500 со 50.

$$x=-30$$

Равенката сега е решена.

$$x=20 x=-30$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Додавање на 15000 на двете страни на равенката.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Ако одземете -15000 од истиот број, ќе остане 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Одземање на -15000 од 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Поделете ги двете страни со 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Ако поделите со 25, ќе се врати множењето со 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Делење на 250 со 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Делење на 15000 со 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Поделете го 10, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 5. Потоа додајте го квадратот од 5 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Квадрат од 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Собирање на 600 и 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Фактор x^{2}+10x+25. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Поедноставување.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Одземање на 5 од двете страни на равенката.

$$x=20 x=-30$$