Решете 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 25 со 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 7 со 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 35-7x со 5+x и да ги комбинирате сличните термини.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Соберете 400 и 175 за да добиете 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Комбинирајте 25x^{2} и -7x^{2} за да добиете 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Одземете 295 од двете страни.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Одземете 295 од 575 за да добиете 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Додај 45x^{2} на двете страни.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Комбинирајте 18x^{2} и 45x^{2} за да добиете 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 63 за a, 200 за b и 280 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Квадрат од 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Множење на -4 со 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Множење на -252 со 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Собирање на 40000 и -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Вадење квадратен корен од -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Множење на 2 со 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} кога ± ќе биде плус. Собирање на -200 и 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Делење на -200+4i\sqrt{1910} со 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4i\sqrt{1910} од -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Делење на -200-4i\sqrt{1910} со 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 25 со 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 7 со 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 35-7x со 5+x и да ги комбинирате сличните термини.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Соберете 400 и 175 за да добиете 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Комбинирајте 25x^{2} и -7x^{2} за да добиете 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Додај 45x^{2} на двете страни.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Комбинирајте 18x^{2} и 45x^{2} за да добиете 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Одземете 575 од двете страни.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Одземете 575 од 295 за да добиете -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Поделете ги двете страни со 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Ако поделите со 63, ќе се врати множењето со 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Намалете ја дропката \frac{-280}{63} до најниските услови со извлекување и откажување на 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Поделете го \frac{200}{63}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{100}{63}. Потоа додајте го квадратот од \frac{100}{63} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Кренете \frac{100}{63} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Соберете ги -\frac{40}{9} и \frac{10000}{3969} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Фактор x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Одземање на \frac{100}{63} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$