Решете 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Реши за x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 24x^{2}+ax+bx+21. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Решението е парот што дава збир -65.

$$a=-56 b=-9$$

Препиши го 24x^{2}-65x+21 како \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Исклучете го факторот 8x во првата група и -3 во втората група.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-7 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-7=0 и 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 24 за a, -65 за b и 21 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Квадрат од -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Множење на -4 со 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Множење на -96 со 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Собирање на 4225 и -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Вадење квадратен корен од 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Спротивно на -65 е 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Множење на 2 со 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{65±47}{48} кога ± ќе биде плус. Собирање на 65 и 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{112}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{65±47}{48} кога ± ќе биде минус. Одземање на 47 од 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{18}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Одземање на 21 од двете страни на равенката.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Ако одземете 21 од истиот број, ќе остане 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Поделете ги двете страни со 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Ако поделите со 24, ќе се врати множењето со 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-21}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Поделете го -\frac{65}{24}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{65}{48}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{65}{48} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{65}{48} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Соберете ги -\frac{7}{8} и \frac{4225}{2304} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Фактор x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Додавање на \frac{65}{48} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$