Решете 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 8x^{2}+ax+bx-1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -8.

$$-1,8 -2,4$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Решението е парот што дава збир 2.

$$a=-2 b=4$$

Препиши го 8x^{2}+2x-1 како \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Факторирај го 2x во 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Факторирај го заедничкиот термин 4x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4x-1=0 и 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 24 за a, 6 за b и -3 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Квадрат од 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Множење на -4 со 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Множење на -96 со -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Собирање на 36 и 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Вадење квадратен корен од 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Множење на 2 со 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-6±18}{48} кога ± ќе биде плус. Собирање на -6 и 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{12}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-6±18}{48} кога ± ќе биде минус. Одземање на 18 од -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{-24}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Додавање на 3 на двете страни на равенката.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ако одземете -3 од истиот број, ќе остане 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Одземање на -3 од 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Поделете ги двете страни со 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Ако поделите со 24, ќе се врати множењето со 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{6}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{3}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Поделете го \frac{1}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{8}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Соберете ги \frac{1}{8} и \frac{1}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Фактор x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Одземање на \frac{1}{8} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$