Решете 24x^2-82x+63=0

$$24 { x }^{ 2 } -82x+63=0$$

Реши за x

$$x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1,166666667$$

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$24x^{2}-82x+63=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 24 за a, -82 за b и 63 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 24\times 63}}{2\times 24}$$

Квадрат од -82.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-4\times 24\times 63}}{2\times 24}$$

Множење на -4 со 24.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-96\times 63}}{2\times 24}$$

Множење на -96 со 63.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-6048}}{2\times 24}$$

Собирање на 6724 и -6048.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{676}}{2\times 24}$$

Вадење квадратен корен од 676.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±26}{2\times 24}$$

Спротивно на -82 е 82.

$$x=\frac{82±26}{2\times 24}$$

Множење на 2 со 24.

$$x=\frac{82±26}{48}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{82±26}{48} кога ± ќе биде плус. Собирање на 82 и 26.

$$x=\frac{108}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{108}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 12.

$$x=\frac{9}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{82±26}{48} кога ± ќе биде минус. Одземање на 26 од 82.

$$x=\frac{56}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{56}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=\frac{7}{6}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{7}{6}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-82x+63=0$$

Одземање на 63 од двете страни на равенката.

$$24x^{2}-82x+63-63=-63$$

Ако одземете 63 од истиот број, ќе остане 0.

$$24x^{2}-82x=-63$$

Поделете ги двете страни со 24.

$$\frac{24x^{2}-82x}{24}=-\frac{63}{24}$$

Ако поделите со 24, ќе се врати множењето со 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{82}{24}\right)x=-\frac{63}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-82}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x=-\frac{63}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-63}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x=-\frac{21}{8}$$

Поделете го -\frac{41}{12}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{41}{24}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{41}{24} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\left(-\frac{41}{24}\right)^{2}=-\frac{21}{8}+\left(-\frac{41}{24}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{41}{24} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}=-\frac{21}{8}+\frac{1681}{576}$$

Соберете ги -\frac{21}{8} и \frac{1681}{576} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}=\frac{169}{576}$$

Фактор x^{2}-\frac{41}{12}x+\frac{1681}{576}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{41}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{41}{24}=-\frac{13}{24}$$

Додавање на \frac{41}{24} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{7}{6}$$