Решете 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Реши за x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 24x^{2}+ax+bx+15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Решението е парот што дава збир -38.

$$a=-20 b=-18$$

Препиши го 24x^{2}-38x+15 како \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right).

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и -3 во втората група.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 6x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 6x-5=0 и 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 24 за a, -38 за b и 15 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Квадрат од -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Множење на -4 со 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Множење на -96 со 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Собирање на 1444 и -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Вадење квадратен корен од 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

Спротивно на -38 е 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Множење на 2 со 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{38±2}{48} кога ± ќе биде плус. Собирање на 38 и 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{40}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=\frac{5}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{38±2}{48} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2 од 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{36}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Одземање на 15 од двете страни на равенката.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Ако одземете 15 од истиот број, ќе остане 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Поделете ги двете страни со 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

Ако поделите со 24, ќе се врати множењето со 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-38}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-15}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Поделете го -\frac{19}{12}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{19}{24}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{19}{24} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{19}{24} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Соберете ги -\frac{5}{8} и \frac{361}{576} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Фактор x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Додавање на \frac{19}{24} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$