Решете 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Реши за k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 12k^{2}+ak+bk+12. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Решението е парот што дава збир 25.

$$a=9 b=16$$

Препиши го 12k^{2}+25k+12 како \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Исклучете го факторот 3k во првата група и 4 во втората група.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 4k+3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4k+3=0 и 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 24 за a, 50 за b и 24 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Квадрат од 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Множење на -4 со 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Множење на -96 со 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Собирање на 2500 и -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Вадење квадратен корен од 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Множење на 2 со 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-50±14}{48} кога ± ќе биде плус. Собирање на -50 и 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{-36}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-50±14}{48} кога ± ќе биде минус. Одземање на 14 од -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Намалете ја дропката \frac{-64}{48} до најниските услови со извлекување и откажување на 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Одземање на 24 од двете страни на равенката.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Ако одземете 24 од истиот број, ќе остане 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Поделете ги двете страни со 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Ако поделите со 24, ќе се врати множењето со 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{50}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Делење на -24 со 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Поделете го \frac{25}{12}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{25}{24}. Потоа додајте го квадратот од \frac{25}{24} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Кренете \frac{25}{24} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Собирање на -1 и \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Фактор k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Поедноставување.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Одземање на \frac{25}{24} од двете страни на равенката.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$