Решете 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 20x^{2}+ax+bx-1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Решението е парот што дава збир -1.

$$a=-5 b=4$$

Препиши го 20x^{2}-x-1 како \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Факторирај го 5x во 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Факторирај го заедничкиот термин 4x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4x-1=0 и 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 20 за a, -1 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Множење на -4 со 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Множење на -80 со -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Собирање на 1 и 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Вадење квадратен корен од 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Спротивно на -1 е 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Множење на 2 со 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{1±9}{40} кога ± ќе биде плус. Собирање на 1 и 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Намалете ја дропката \frac{10}{40} до најниските услови со извлекување и откажување на 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{1±9}{40} кога ± ќе биде минус. Одземање на 9 од 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Намалете ја дропката \frac{-8}{40} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ако одземете -1 од истиот број, ќе остане 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Одземање на -1 од 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Поделете ги двете страни со 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Ако поделите со 20, ќе се врати множењето со 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Поделете го -\frac{1}{20}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{40}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{40} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{40} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Соберете ги \frac{1}{20} и \frac{1}{1600} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Фактор x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Додавање на \frac{1}{40} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$