Решете 2x-3y=-1text{and}y=x-1

$$2 x - 3 y = - 1 \text { and } y = x - 1$$

Реши за x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид втората равенка. Одземете x од двете страни.

$$y-x=-1$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$2x-3y=-1$$

Додавање на 3y на двете страни на равенката.

$$2x=3y-1$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Множење на \frac{1}{2} со 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Заменете го x со \frac{3y-1}{2} во другата равенка, -x+y=-1.

$$-\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=-1$$

Множење на -1 со \frac{3y-1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}+y=-1$$

Собирање на -\frac{3y}{2} и y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-1$$

Одземање на \frac{1}{2} од двете страни на равенката.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Помножете ги двете страни со -2.

$$y=3$$

Заменете го y со 3 во x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

Множење на \frac{3}{2} со 3.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

Соберете ги -\frac{1}{2} и \frac{9}{2} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x=4$$

Системот е решен сега.

$$x=4,y=3$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид втората равенка. Одземете x од двете страни.

$$y-x=-1$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)-3\left(-1\right)\\-\left(-1\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=4,y=3$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид втората равенка. Одземете x од двете страни.

$$y-x=-1$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

За да ги направите 2x и -x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со -1 и сите членови од двете страни на втората со 2.

$$-2x-\left(-3y\right)=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Поедноставување.

$$-2x+3y=1,-2x+2y=-2$$

Одземете -2x+2y=-2 од -2x+3y=1 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$-2x+2x+3y-2y=1+2$$

Собирање на -2x и 2x. Термините -2x и 2x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$3y-2y=1+2$$

Собирање на 3y и -2y.

$$y=1+2$$

Собирање на 1 и 2.

$$y=3$$

Заменете го y со 3 во -x+y=-1. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$-x+3=-1$$

Одземање на 3 од двете страни на равенката.

$$-x=-4$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$x=4$$

Системот е решен сега.

$$x=4,y=3$$