Решете 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, -2 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Квадрат од -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Собирање на 4 и 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Спротивно на -2 е 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на 2 и 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Делење на 2+2\sqrt{3} со 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2\sqrt{3} од 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Делење на 2-2\sqrt{3} со 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ако одземете -1 од истиот број, ќе остане 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Одземање на -1 од 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Делење на -2 со 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Соберете ги \frac{1}{2} и \frac{1}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Фактор x^{2}-x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$