Решете 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Реши за x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 2x^{2}+ax+bx-15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решението е парот што дава збир 7.

$$a=-3 b=10$$

Препиши го 2x^{2}+7x-15 како \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 5 во втората група.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-3=0 и x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, 7 за b и -15 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Квадрат од 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Собирање на 49 и 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±13}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на -7 и 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Намалете ја дропката \frac{6}{4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±13}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 13 од -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Делење на -20 со 4.

$$x=-5$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Додавање на 15 на двете страни на равенката.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ако одземете -15 од истиот број, ќе остане 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Одземање на -15 од 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Поделете го \frac{7}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{4}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Соберете ги \frac{15}{2} и \frac{49}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Фактор x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Одземање на \frac{7}{4} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$