Решете 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 2x^{2}+ax+bx+5. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 10.

$$1,10 2,5$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+10=11 2+5=7$$

Решението е парот што дава збир 7.

$$a=2 b=5$$

Препиши го 2x^{2}+7x+5 како \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 5 во втората група.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x+1=0 и 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, 7 за b и 5 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Квадрат од 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Собирање на 49 и -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±3}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на -7 и 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Делење на -4 со 4.

$$x=-1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±3}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 3 од -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Намалете ја дропката \frac{-10}{4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Одземање на 5 од двете страни на равенката.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Ако одземете 5 од истиот број, ќе остане 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Поделете го \frac{7}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{4}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Соберете ги -\frac{5}{2} и \frac{49}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Фактор x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Одземање на \frac{7}{4} од двете страни на равенката.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$