Решете 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 2x^{2}+ax+bx-90. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Решението е парот што дава збир 3.

$$a=-12 b=15$$

Препиши го 2x^{2}+3x-90 како \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 15 во втората група.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-6 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-6=0 и 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, 3 за b и -90 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Квадрат од 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Собирање на 9 и 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-3±27}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на -3 и 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Делење на 24 со 4.

$$x=6$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-3±27}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 27 од -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Намалете ја дропката \frac{-30}{4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Додавање на 90 на двете страни на равенката.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Ако одземете -90 од истиот број, ќе остане 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Одземање на -90 од 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Делење на 90 со 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Поделете го \frac{3}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{3}{4}. Потоа додајте го квадратот од \frac{3}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Кренете \frac{3}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Собирање на 45 и \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Фактор x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Одземање на \frac{3}{4} од двете страни на равенката.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$