Решете 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Реши за x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2y од двете страни.

$$2x-2y=14$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 5x на двете страни.

$$3y+5x=3$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$2x-2y=14$$

Додавање на 2y на двете страни на равенката.

$$2x=2y+14$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Множење на \frac{1}{2} со 14+2y.

$$x=y+7$$

Заменете го x со y+7 во другата равенка, 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Множење на 5 со y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Собирање на 5y и 3y.

$$8y+35=3$$

Одземање на 35 од двете страни на равенката.

$$8y=-32$$

Поделете ги двете страни со 8.

$$y=-4$$

Заменете го y со -4 во x=y+7. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=-4+7$$

Собирање на 7 и -4.

$$x=3$$

Системот е решен сега.

$$x=3,y=-4$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2y од двете страни.

$$2x-2y=14$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 5x на двете страни.

$$3y+5x=3$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=3,y=-4$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2y од двете страни.

$$2x-2y=14$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 5x на двете страни.

$$3y+5x=3$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

За да ги направите 2x и 5x исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со 5 и сите членови од двете страни на втората со 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Поедноставување.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Одземете 10x+6y=6 од 10x-10y=70 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Собирање на 10x и -10x. Термините 10x и -10x се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-10y-6y=70-6$$

Собирање на -10y и -6y.

$$-16y=70-6$$

Собирање на 70 и -6.

$$-16y=64$$

Поделете ги двете страни со -16.

$$y=-4$$

Заменете го y со -4 во 5x+3y=3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Множење на 3 со -4.

$$5x-12=3$$

Додавање на 12 на двете страни на равенката.

$$5x=15$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$x=3$$

Системот е решен сега.

$$x=3,y=-4$$